古典邏輯就沒有存在意含嗎


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傳統三段論可從「所有 F 都是 G」推論出「有些 F 是 G」,但到了弗列格(Gottlob Frege)和羅素(Bertrand Russell)提倡的古典邏輯,這個推論卻不成立,因為這兩句在古典邏輯的意思分別是:

(1). $\forall x (Fx\to Gx)$
(2). $\exists x (Fx\land Gx)$

有人認為這反映古典邏輯勝過三段論,理由是我們應該會認為

(1*). 所有獨角獸都有一隻角

是真的,但認為

(2*). 有些獨角獸有一隻角

是假的,因為「有些獨角獸有一隻角」的意思等於「存在著有一隻角的獨角獸」。如果 (1*) 真而 (2*) 假,便代表「所有 F 都是 G」推論不出「有些 F 是 G」,所以,三段論是錯的。這也是所謂的「存在意含問題」(the problem of existential import)

可是,古典邏輯其實也有類似的問題。首先,雖然 (1) 推不出 (2) ,但若果加上 (3) ,整個推論便會成立:

(1). $\forall x (Fx\to Gx)$
(3). $\exists x Fx$
 因此:
(2). $\exists x (Fx\land Gx)$

情況好比,「所有獨角獸都有一隻角」加上「有獨角獸存在」便推得出「有些獨角獸有一隻角(存在著有一隻角的獨角獸)」。然而「F」代表任何述詞,在包含等號的古典述詞邏輯,將「Fx」變成「x=y」,這推論便成了:

(1′). $\forall x (x=y\to Gx)$
(3′). $\exists x (x=y)$
 因此:
(2′). $\exists x (x=y\land Gx)$

「$\exists x (x=y)$」表示「至少存在一個東西等於 y」,這在古典邏輯是必然為真的句子,因為至少 y 自己會等於 y 。在古典邏輯, (3′) 這個前提無論如何也會成立,所以一旦 (1′) 成立, (2′) 便會接著成立。問題是,以下兩句都符合 (1′) 的結構,而且都是真的句子。
  • 所有是(等同)福爾摩斯的人都是福爾摩斯
  • 所有是(等同)比光快的物件A都比聲音快
可是,若然相應的 (2′) 為真,便代表福爾摩斯和比光快的物件A都存在。這兩個結果顯然是假的。 (1′) 和 (3′) 兩個真前提,竟然推出一個假結論 (2′) 。

問題出在哪裡? Karel Lambert (1963) 認為罪魁禍首是 (3′) ,因為它等於假定所有單稱詞「y」都指到真實存在的東西,因此才會至少存在一個東西等於 y 。怎樣解決?拋棄這個假定,讓單稱詞可以指到不存在的事物,例如「福爾摩斯」、「Pegasus」,再相應調整邏輯系統的公理,避免推出「福爾摩斯存在」、「Pegasus exists」之類的語句。這類邏輯系統,即是當代所謂的「自由邏輯」(free logic)。



Reference
Lambert, Karel (1963). Existential import revisited. Notre Dame Journal of Formal Logic 4 (4):288-292.

2 則留言:

  1. 樓主你好:
    我有些地方想請問你
    「所有是(等同)福爾摩斯的人都是福爾摩斯」
    「所有是(等同)比光快的物件A都比聲音快」
    與(1′). ∀x(x=y→Gx)之間的對應關係是如何的?
    以下是我的解釋
    第一個句子的x=y是指福爾摩斯等於福爾摩斯,Gx是指x是福爾摩斯
    第二個句子的x=y是指比光快的物件A,Gx是指x比聲音快

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    1. x=y: x=福爾摩斯,Gx: x是福爾摩斯
      x=y: x=比光快的A,Gx: x比聲音快

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