二元量化詞 (binary quantifier)


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述詞邏輯 (predicate logic) 比命題邏輯 (propositional logic) 多兩個量化詞,分別是全稱量化詞 (universal quantifier) 和存在量化詞 (existential quantifier) ,用來處理全稱語句和存在語句。例如,

(1). 所有色狼都已被捕
(2). 有些色狼已被捕

在述詞邏輯可翻譯成

(1a). $∀x(Ax→Bx)$
[ 對於所有東西,如果他是色狼,則他已被捕 ]
(2a). $∃x(Ax∧Bx)$
[ 存在著(至少)一個東西,他是色狼而且他已被捕 ]

當中的「所有」和「有些」分別是全稱量化詞和存在量化詞。

古典邏輯 (classical logic) 將這兩個量化詞視為一元量化詞 (unary/monadic quantifier) ,因為這兩個量化詞的符號「$∀x$」和「$∃x$」在古典邏輯都是用來連結一個開放式 (open formula) :第一句連結的「$(Ax→Bx)$」和第二句連結的「$(Ax∧Bx)$」都是開放式。

不過,當代愈來愈多人認為日常語言裡的量化詞不是一元量化詞,而是二元量化詞 (binary quantifier) 。一元量化詞連結一個開放式,二元量化詞則連結兩個開放式。上述兩句用二元量化詞翻譯,會寫作:

(1b). $(∀x: Ax)Bx$
[ 所有色狼是這樣的:他已被捕 ]
(2b). $(∃x: Ax)Bx$
[ 有些色狼是這樣的:他已被捕 ]

第一句和第二句的量化詞連結「$Ax$」和「$Bx$」,因此屬於二元量化詞。(留意「 $Ax$」和「$Bx$」中間沒有任何連詞 (connective) 。)

雖然許多人認為二元量化詞在語法上比較貼近自然語言,但在全稱語句和存在語句,一元量化詞和二元量化詞的分別並不大。不過,自然語言除了「所有」和「有些」,尚有其他量化詞,例如「很多」、「許多」、「大多」、「多數」。不少哲學家認為,只有二元量化詞才可表達這些日常生活的量化詞的意思。

以「大多」 (most) 為例,試考慮一句與 (1) 和 (2) 相似的句子:

(3). 大多色狼已被捕

讓我們將「大多」寫成「$\mathscr{M}x$」,並假設它是一元量化詞。如此一來, (3) 只有兩個譯法:

(3a′). $\mathscr{M}x(Ax→Bx)$
(3a′′). $\mathscr{M}x(Ax∧Bx)$

但這兩個譯法都是錯的。第二個譯法明顯有問題,因為它的意思是「大多東西是色狼而且已被捕」,這蘊涵「大多東西是色狼」,但 (3) 明顯沒有這個意味。

第一個譯法同樣有問題,主要是由於「$Ax→Bx$」在「$Ax$」不成立時,整句會自動成立。因此,我們可設想一個情況:論域有 1000 個東西($c_1, c_2, ... c_{1000}$),其中 10 個是色狼($c_1, c_2,... c_{10}$),不過只有 1 個被捕($c_1$)。現在檢查「$Ax→Bx$」的一千個個例:

設想的情境
No.
$Ax$
T/F
$Bx$
T/F
$Ax→Bx$
T/F
1
$Ac_{1}$
T
$Bc_{1}$
T
$Ac_{1}→Bc_{1}$
T
2
$Ac_{2}$
T
$Bc_{2}$
F
$Ac_{2}→Bc_{2}$
F
T
F
F
10
$Ac_{10}$
T
$Bc_{10}$
F
$Ac_{10}→Bc_{10}$
F
11
$Ac_{11}$
F
$Bc_{11}$
F
$Ac_{11}→Bc_{11}$
T
F
F
T
F
F
T
1000
$Ac_{1000}$
F
$Bc_{1000}$
F
$Ac_{1000}→Bc_{1000}$
T

古典邏輯的條件句在前項假時會整句為真。由於「$Ac_{11}$」到「$Ac_{1000}$」全部為假,「$Ac_{11}→Bc_{11}$」到「$Ac_{1000}→Bc_{1000}$」全都為真。

問:論域裡是否大多東西都能使「$Ax→Bx$」為真?
答:是,因為論域裡 1000 個東西有 991 個都能使「$Ax→Bx$」為真(即:$c_1, c_{11}, ... c_{1000}$)。

問: (3a′) 是否為真?
答:是,因為論域裡大多東西都能使「$Ax→Bx$」為真。

因此,若果將 (3) 譯成 (3a′) ,它在設想的情境底下會是真的。可是,正常人應該會說 (3) 在這情境是假的,因為 10 個色狼裡面,只有 1 個被捕,絕對稱不上「大多色狼已被捕」。

若將「大多」當作二元量化詞, (3) 可譯成:

(3b). $(\mathscr{M}x:Ax)Bx$

一元解讀底下的 (3a′) 在設想的情境為真,主要是因為論域裡大多東西不是色狼 ── 也就是大多東西不符合「$Ax$」。 (3b) 屬於二元解讀,現時邏輯學已經有方法可以令 (3b) 的真假獨立於非色狼的東西 ── 也就是不需顧及不符合「$Ax$」的東西。換句話說, (3b) 不會因為 $c_{11}$ 到 $c_{1000}$ 不是色狼而整句為真。

不過, (3b) 的語意到底是怎樣?常見的定義是:

「$(\mathscr{M}x:Ax)Bx$」為真,若且唯若,既符合「$Ax$」又符合「$Bx$」的東西比符合「$Ax$」但不符合「$Bx$」的東西多
[…若且唯若,被捕的色狼比未被捕的色狼多]
[$V_{\mathfrak{M}, g}((\mathscr{M}x: Ax)Bx)=1\text{ iff }|(Ax)^{\mathfrak{M}, g,\alpha}\cap(Bx)^{\mathfrak{M}, g,\alpha}|>|(Ax)^{\mathfrak{M}, g,\alpha} - (Bx)^{\mathfrak{M}, g,\alpha}|$]

根據這個定義,由於設想的情境裡被捕的色狼只有 1 個,未被捕的色狼有 9 個,因此「$(Mx:Ax)Bx$」為假,這結果合乎直覺。

不過,對語言比較敏感的人應已發現,這個定義底下「大多色狼已被捕」會有一條明確邊界,因為被捕的色狼是否多於未被捕的色狼有明確邊界 ── 這個定義等於在說「過半色狼被捕」。然而,「大多」乍看之下是含混詞 (vague term) ,沒有明確界線: 1000 個裡有 100 個不算「大多」,有 900 個算大多,但由哪個開始算是「大多」,卻是不清楚的。(由 899 個開始?若是,為何不是由 898 個開始?若 898 個是開端,為何不由 897 個開始?如此類推。)

這個問題似乎有兩個處理方式:一,在形式邏輯引進「$\mathscr{M}x$」時連帶引進真值隙 (truth-value gap) 來處理含混詞;二,解釋日常語言的「大多」真的有明確邊界,而含混的意味只不過是暗示 (implicature) 。

但無論細節如何,似乎只有二元量化詞才可處理「大多」這個自然語言的量化詞。基於這點,我們可組織一個更極端的論證:

1. 「大多」和「所有」、「有些」、「許多」等量化詞的結構一樣
2. 「大多」是二元量化詞
因此,「所有」、「有些」、「許多」等量化詞都是二元量化詞

假如這個論證成立,古典邏輯將「所有」和「有些」當作一元量化詞便是錯的。

*   *   *

關於二元量化詞的介紹,可參考以下幾本書:
  • Crane, T. (2013). Quantification in natural language [§2.4]. In his The Objects of Thought. Oxford University Press.
  • Sider, T. (2010). Generalized binary quantifiers [§5.4.2]. In his Logic for Philosophy. Oxford University Press.
  • Neale, S. (1990). Quantifiers in natural language [§2.5]. In his Descriptions. MIT Press.
這些都不是期刊論文,不過我引用的只是其中一節,不需整本看完,但若果看不懂那節,則要從前幾節讀起。

1 則留言:

  1. 偶然逛到博主的blog,乍见之欢如入宝库,久读未厌如品香茗。

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