這篇文章的標題有有兩個錯誤

相傳在公元前六、七世紀,有一位哲學家埃庇米尼得斯 (Epimenides of Knossos) 對克里特島人 (Cretans) 開地圖炮,說道:「所有克里特島人都是說謊者 (all Cretans are liars) 。」有趣的是,他自己也是克里特島人。如果他說對了,他便是說謊者,那麼他說的是真話還是假話?嚴格而言,埃庇米尼得斯的例子並不是悖論(paradox),但卻衍生出日後著名的「說謊者悖論 (liar paradox)」,並開啟日後關於悖論的研究。

說謊的女友

甚麼是說謊者悖論?在看悖論的例子之前,不妨先看一個不是悖論的例子。本文的「悖論」 (paradox) 專指語意悖論 (semantic paradox) ,不涉及其他更加廣義的「悖論」。例如 Clark (2012) Paradoxes from A to Z (3rd), Smilansky (2007) 10 Moral Paradoxes 和 Sainsbury (2009) Paradoxes (3rd) 所討論的悖論,就涵蓋非語意的悖論。〈三類悖論〉介紹另一個分類,裡面便有非語意的悖論。試想像小賢因為貧嘴,觸怒了他的女朋友小韋,小韋繼而對小賢說:「我不和你說話。」

via The Big Bang Theory

小韋說她不和小賢說話,根據她所講的內容,她不和小賢說話,可是她卻同一時間做了個動作 ── 和小賢說話。小韋的行為正好推翻自己的話,使得自己的話無論如何也是假的。我們暫稱這情況為「說謊的女友」。

說謊的女友並不是當代研究的悖論,理由有二。第一,說謊的女友要自我推翻,小韋必須同時做某個行為,但悖論並不需要有講者做任何行為,也會出問題。第二,說謊的女友顯示小韋說的不是真話,而是假話,可是悖論無論真或者假也會有問題;自我推翻 (self-defeating) 的話可以假,悖論卻是連假也會出事。

簡單說謊者 (simple liar)

所以,究竟甚麼是說謊者悖論?讓我們看看第一個說謊者悖論的例子:

(1). 這篇文章的第一個說謊者悖論的例子是假的

為了方便,我用 (1) 代表這個例子。問題: (1) 是真的還是假的?假設只有真 (true) 和假 (false) 兩個可能性。首先,如果 (1) 是真的,代表這篇文章的第一個說謊者悖論的例子是假的,但 (1) 正正就是第一個例子,所以 (1) 同時得是假的,產生矛盾。然而,如果 (1) 是假的,代表第一個例子是假的,而 (1) 說對了,因此是真的,同樣產生矛盾。 (1) 這類句子是最簡單的說謊者悖論,若果真會有矛盾,若果假也會有矛盾 ── 無論真假都會有矛盾。

這類說謊者悖論有其他表達方法,茲舉三例。

(2). 這句話是假的
(3). 句 (3) 是假的
(4).   方格內的句子是假的

須注意,說謊者悖論與說謊的女友有兩個分別。第一,說謊者悖論不需要事實上有某個說話者做某個行為,它依賴的是,我們的語言容許我們建構出 (1) 、 (2) 、 (3) 、 (4) 這類句子,即使事實上沒有人講過出口;第二, 說謊者悖論若果為假,同樣會產生矛盾,可謂「欲真不能,欲假亦不能」。

說謊者循環 (liar cycle)

上面的說謊者悖論只涉及一個句子,但有些說謊者悖論卻要由多個句子引發。 假設小賢惹怒小韋後,在臉書瘋狂發功,終於哄回小韋,兩人卿卿我我的打情罵俏。小韋問小賢:「你可知道我甚麼時候說真話,甚麼時候說假話?」小賢一臉胸有成竹, 以例子示強:

小賢:「你接著說的話是真的。」

小韋聽罷,存心作弄:

小韋:「你剛才說的話是假的。」

問:這對痴男怨女說的到底是真話還是假話。答:他們合力製造了說謊者循環;小賢和小韋的話都是悖論。

假設小賢說的話為真,代表小韋接著說的那句「你(小賢)剛才說的話是假的」是真的,於是小賢說的話便是假的,產生矛盾。假設小賢說的是假話,小韋接著說的便不是真話,使得小賢剛才說的便會是真話,又產生矛盾。類似的推論可以證明小韋那句一樣是說謊者悖論,真假都會有矛盾。這個例子,且稱之為「說謊狗男女」。

via here

說謊狗男女雖涉及說話的人、說話時間和說話的行為,但說謊者循環本身毋須依賴這幾點。比如,我們大可將說謊者循環寫成:

(5). 句 (6) 是真的
(6). 句 (5) 是假的

針對 (5) 和 (6) 的內容,透過相似的推論,便可證明 (5) 和 (6) 都是悖論。

生活中的說謊者

說謊者悖論貌似是「人工產品」,但其實在我們日常生活中隨時已經出現過說謊者悖論,只是大家未必察覺到。試想像兩個初出道的政客因過往一段不為人知的歷史而愛恨交纏,在公眾場合都只講過極少話。其中,政客小韋在公眾場合只說過一句話。

小韋:「小賢在公眾場合講關於我的話大多數都是假的。」

無獨有偶,政客小賢在公眾場合說過關於小韋的話,就只有三句話。

小賢:「小韋有五十道陰影。」
小賢:「小韋討厭自大狂。」
小賢:「小韋在公眾場合講關於我的話全都是真的。」

假設小賢的第一句事實上是假話(小韋沒有五十道陰影),第二句事實上是真話(小韋討厭自大狂),小韋所說的話便會是悖論。

小賢在公眾場合只講過三句關於小韋的話,第一句假,第二句真,最後一句的真假於是決定了小韋說的對不對:最後一句真,小賢大多數關於小韋的話便是真的,小韋說的便是不對;最後一句假,小賢說的便大多是假話,小韋說的話便對了。

證明小韋的話是悖論,原理與之前一樣。如果小韋說的是真話,小賢的第三句便是假的 (已假定第一句假、第二句真),於是小韋唯一在公眾場合說的話便是假的,矛盾。如果小韋說的是假話,小賢的話並非多數是假話,則小賢的第三句要是真的(否則就多數是假話),由是小韋那句話就是真的,又生矛盾。小韋的話是悖論,小賢的第三句話同樣是悖論,證明不贅。此類例子,可稱為「說謊的政客」。

說謊的政客比前兩種例子更貼近生活,只是日常對話涉及的句子必定更多,也更難為人察覺裡面是否有悖論。難以察覺的悖論尚有其他,比如,邏輯巨擘羅素 (Bertrand Russell) 稱讚摩爾 (G. E. Moore) ,便沒有發現自己不小心製造了悖論

與此同時,說謊的政客顯示,有時悖論出現與否取決於某些經驗因素,上述例子便取決於小賢的頭兩句話是否符合事實,這點為日後的「解悖工程」設下一道門檻:合格的解悖理論必須能處理受經驗因素影響而浮動的例子。這例子由 Saul Kripke 提出,可見於 Kripke (1975) “Outline of a Theory of Truth”, in his Philosophical Troubles: Collected Papers (Vol.1), p.76 。此外也可參考 Richard Kirkham 的解釋,見 Kirkham (1995) Theories of Truth: A Critical Introduction, p. 282 。

無限說謊者

上述的例子全部都有一個特徵,那就是:產生悖論的句子要麼直接談到自己,要麼它所談的對象掉轉頭談到自己。在簡單說謊者,有個句子說自己是假的;在說謊者循環和說謊的政客,一個句子說到另一句是真的,另一個句子倒過來說原本的句子是假的。

一九九三年,亞布羅 (Stephen Yablo) 提出一個特別版的說謊者悖論,裡面每個句子非但沒有直接談及自己,它所談的句子也沒有反過來談到自己,但最終每一句都是說謊者悖論。參見 Stephen Yablo 的 Yablo (1993) Paradox without Self-Reference. Analysis亞布羅提出的悖論由無限多個句子組成,其結構是:

(Y1). (Y2) 及以下的句子都不是真的。
(Y2). (Y3) 及以下的句子都不是真的。
(Y3). (Y4) 及以下的句子都不是真的。
(Y4).
⋮  

這類悖論今日稱為「亞布羅悖論」 (Yablo’s Paradox) ,裡面每一行的 (Y1) 、 (Y2) 、 (Y3) … 都是悖論。證明有點複雜,但只要稍為思考,相信很快便會想到。

via byeian's instagram

俾我抖下得唔得呀

說謊者悖論的重要性,源於它挑戰我們對語言、對世界、對邏輯的理解。說謊者悖論由第一步到最後一步,每一個推論步驟都十分符合直覺,因為每一步背後都是基於我們不自覺接受的語言理論、形上學理論和邏輯理論。例如,我們能夠理解 (1) 是甚麼意思,反映我們背後有一套意義理論 (theory of meaning) ;我們明白「 (1) 為真」代表甚麼、 「 (1) 為假」代表甚麼,反映我們已經有一套真理論 (theory of truth) ;我們知道怎樣由 「 (1) 為真」或者「 (1) 為假」推出「 (1) 有矛盾」,反映我們已經接受某套邏輯理論 (logical theory) 。是故當代語言哲學、形上學、邏輯學(乃至邏輯哲學)經常觸及說謊者悖論,而理想的解悖方案往往也要從這幾方面下手。

最後,容我回到這篇文章。 我在開首說「所有里特島人都是說謊者」的例子嚴格來說不是悖論,其中有兩個理由,可參考我另一篇〈說謊者悖論〉倒數第二點。此外,本文的標題參考 Robert M. Martin 的書名 There Are Two Errors in the the Title of This Book ,裡面其實暗藏悖論。

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