2016年8月11日

Logic is one of the most ancient intellectual disciplines, and one of the most modern. Its beginnings go back to the 4th century ec. The only older disciplines are philosophy and mathematics, with both of which it has always been intimately connected. (Priest, 2001, “Preface”)
「邏輯是研究思考的學科」、「邏輯是研究推理的學科」、「邏輯是趼究最穩固的真理的學科」 ── 翻查邏輯書,難免發現邏輯學家對「邏輯學」的定義也是莫衷一是,然而,縱使每本邏輯書的界定都不一樣,它們依然有一個共同主題:論證 (argument) 。比如,以下便是一個論證:

這隻狗會吠陌生人
牠沒有吠兇手
因此,兇手不是陌生人

論證是語句的組合,其中一個是論證者想要支持的語句,稱為「結論」 (conclusion) ,其餘的都是用來支持結論的證據,稱為「前提」 (premise) 。本文不作語句 (sentence) 、述句 (statement) 、命題 (proposition) 等區分。在這個例子,結論是「兇手不是陌生人」,前提則是「這隻狗會吠陌生人」和「牠沒有吠兇手」。即使邏輯學沒有公認的定義,至少邏輯學家都同意,論證一直處於邏輯學的核心地帶。

論證的運用在古希臘已經相當受重視。希臘數學家證明幾何學定理,例如畢氏定理,用的是幾何學論證;辯士 (sophists) 教導富裕年青爭奪權力,教的是運用論證的技巧;古希臘哲學家反對非矛盾律 (the law of non-contradiction) 、證明悖論 (paradox) 、檢查別人的信念是否一致,用的也是論證。雖然運用論證是理性的人的基本能力,但有系統地研究論證,其開端卻是亞里士多德 (Aristotle 384-322BC) 。

亞氏所創的邏輯即是今日的定言三段論 (categorical syllogism) ,研究的論證都是涉及「所有」和「有些」的語句。亞氏的邏輯研究由四類基本語句組成的論證:

所有 S 是 P
所有 S 都不是 P
有些 S 是 P
有些 S 不是 P
All S is P
All S is not P
Some S is P
Some S is not P

比如,以下兩個論證,一個是「正確的」,另一個卻是「不正確的」:

所有人都會死 (All H is M)
所有希臘人都是人 (All G is H)
因此,所有希臘人都會死 (All G is M)

所有羅馬人都會死 (All R is M)
所有希臘人都會死 (All G is M)
因此,所有羅馬人都是希臘人 (All R is G)

第一個論證,當兩個前提都為真,結論也必定為真,相反,第二個論證的前提和結論便沒有這種必然關連。具有這種關連的論證,在邏輯學稱為「對確論證」 (valid argument) 。這情況又可說是「前提蘊涵 (entail) 結論」或「前提保證 (guarantee) 結論」。

除了定言三段論,亞氏另外觸及含有模態詞 (modal term) 的論證,成為今日模態邏輯 (modal logic) 的濫觴。比如,亞氏在 On Interpretation (18 b 23 ff.) 檢查一個運用模態詞「必然」的論證。

要麼明天有海戰,要麼明天沒有海戰
如果明天有海戰,則明天必然有海戰
如果明天沒有海戰,則明天必然沒有海戰
因此,要麼明天必然有海戰,要麼明天必然沒有海戰

由於亞氏認為有「開放未來」 (open future) ── 未來發生的事件都是偶然的,不是必然的 ── 雖然「明天有海戰」和「明天沒有海戰」都有可能發生,但兩者都不是必然會發生的,因此,此論證的結論是假的。不少後學認為,亞氏進而推論第一個前提「要麼明天有海戰,要麼明天沒有海戰」有問題,理由是關於未來的語句都沒有真假可言,包括「明天有海戰」和「明天沒有海戰」這兩個互相矛盾的語句。認為兩個互相矛盾的語句 p 和 not-p 非真非假,是日後多值邏輯 (many-valued logic) 的核心思想:因為 p 除了真 (truth) 和假 (falsity) ,尚有第其他值,連帶 not-p 也一樣會有真假以外的第三個值,因此 p 和 not-p 都可以既不為真,亦不為假。我們可以更進一步區分兩種情況: (i) 某個語句有真假值 (truth-value) ,但其真假值不是真值 (truth) ,也不是假值 (falsity) ,和 (ii) 某個語句根本沒有真假值。多值邏輯處理的是前一種情況,祈使邏輯 (imperative logic) 處理的是後一種情況。

斯多葛學派 (stoics) 是亞氏以後另一個邏輯研究的傳統。有別於亞氏,斯多葛學派的研究核心不在於「所有」和「有些」這兩個涉及數量的語詞,而在於用來連結兩個完整語句的連詞 (connective) ,例如「或者」、「而且」、「如果…則…」。舉個例子,

如果小明睡過頭,則小明會遲到
小明睡過頭
因此,小明會遲到

這論證沒有牽涉到數量,關鍵反而在於第一個前提使用了連詞「如果…則…」。它連結兩個完整語句,將「小明睡過頭」和「小明會遲到」組合起來,形成一個複合語句,又稱為「條件句」 (conditional) 。若用符號取代簡單的語句,條件句的作用便更加明顯:

如果 P 則 Q
P
因此, Q

然而,條件句的意義無論是在當時還是在當代都有許多爭議。當時就已經有 Philo of Megara 和 Diodorus Chronos 提倡的兩種理解方式,今日關於條件句的理論更是多不勝數。但無論如何,斯多葛學派研究語句連詞,已具今日的語句邏輯 (sentential logic) 的雛形。大多邏輯書的「語句邏輯」 (sentential logic) 、「述句邏輯」(statement logic) 和「命題邏輯」 (propositional logic) 都是同一套系統,雖然「語句」、「述句」、「命題」其實有分別。

除了研究對象不同,亞氏學派和斯多葛學派對邏輯學的地位亦有意見分歧。亞里士多德將邏輯視為普遍的思考工具而不是哲學的一部分,相反,斯多葛學派視邏輯為哲學的三個分支之一。儘管如此,兩個學派都同意學生應該盡早學邏輯,特別是在涉獵其他領域的學問之前。

步入中世紀,最有標誌性的邏輯學家當數波愛修斯 (Boethius 480-524)。他除了留意到亞氏論證涉及的模態歧義,還將亞氏許多邏輯著作翻譯成拉丁文。有趣的是,公元七至十二世紀,阿拉伯世界主導了邏輯學的研究,其時雖有不少邏輯學家是基督徒,大多邏輯學家還是穆斯林。

十一、十二世紀,歐洲的邏輯學復興,最先是安瑟倫 (Anslem 1033-1109) 和阿伯拉爾 (Peter Abelard 1079-1142) 的著作使得邏輯學再受重視,後來出現愈來愈多亞氏邏輯的譯著,甚至出現了更為普及的 ── 如 Peter of Spain 和 William of Sherwood 的 ── 邏輯教科書。亞氏的三段論邏輯成為中世紀邏輯的主流,邏輯學家進一步在三段論裡做更細致的區分,例如,依三段論詞項 (term) 的位置劃分四類格位 (figure) ,甚至為各種三段論論證定名,比如 “Barbara” 和 “Celarent” 分別代表定言三段論的名字並不是任意改的,三段論名稱的發音與論證形式其實有關連。

Barbara
所有 M 都是 P
所有 S 都是 M
因此,所有 S 都是 P
Celarent
所有 M 都不是 P
所有 S 都是 M
因此,所有 S 不都是 P

到了十四世紀,兩個最有代表性的邏輯學家,分別是奧坎 (William of Ockham 1287-1347) 和布里丹 (Jean Buridan 1295-1363) 。前者最著名的是提出「奧坎剃刀」 (Ockham's Razor) ,後者則是「布里丹之驢」 (Buridan's ass) 。在邏輯學方面,奧坎發展了一些模態邏輯的原則,而布里丹則陳構了用來檢查三段論是否對確的規則,例如其中一條規則是:如果結論是否定句,前提必須剛好只有一句否定句,否則論證會是不對確的。今日坊間的邏輯書,若教到定言三段論,多數也會教用規則檢查論證是否對確的方法,這些規則由三條到七條不等,其源頭便是布里丹在十四世紀的研究。嚴格而言,是檢查論證型式 (argument form) 是否對確,在此不贅。

另一個檢查定言三段論是否對確的方法,則是十九世紀發展的范氏圖 (Venn Diagram) 。范氏圖的雛形是十八世紀數學家歐拉 (Leonhard Euler 1707-1783) 所創的歐拉圖,經由十九世紀的數學家范恩 (John Venn 1834-1923) 改良,今日通稱「范氏圖」或「范恩圖」。十九世紀的邏輯書仍然圍繞亞氏的三段論,當時的大哲學家康德甚至明言,亞氏的邏輯已經到了無可再改進的地步。康德在《純粹理性批判》有一截談邏輯的段落相當有名:“That logic has already, from the earliest times, proceeded upon this sure path is evidenced by the fact that since Aristotle it has not required to retrace a single step, unless, indeed, we care to count as improvements the removal of certain needless subtleties or the clearer exposition of its recognised teaching, features which concern the elegance rather than the certainty of the science. It is remarkable also that to the present day [1787] this logic has not been able to advance a single step, and is thus to all appearance a closed and completed body of doctrine.” (Immanuel Kant, Critique of Pure Reason, Norman Kemp Smith translation.)著名的小說家兼邏輯學家卡羅 (Lewis Carroll 1832-1898) 出版《愛麗絲夢遊仙境》,裡面就有不少古靈精怪的三段論論證。

十九世紀的大思想家之中,黑格爾 (Georg Wilhelm Friedrich Hegel 1770-1831) 和馬克思 (Karl Marx 1818-1883) 可謂別樹一幟。亞里士多德以後,邏輯學家普遍接受非矛盾律 (the law of non-contradiction) 。亞氏以後的兩千年間,只有兩個思想家 ── 在某意思底下 ── 反對這條定律,這兩個人就是黑格爾和馬克思。不過,二人對世界的影響雖然巨大,在形式邏輯方面造成的改變始終有限,放棄非矛盾律的形式邏輯系統,到當代才正式出現。關於非矛盾律的歷史,詳細可參考 Priest (2002) 。作者 Graham Priest 是當代主張有真矛盾句 (true contradiction) 的哲學家,出版許多著作反對非矛盾律和建立不需假定非矛盾律的邏輯系統。

不少邏輯學家於十九世紀嘗試在邏輯上使用類似代數的記號方式,例如,迪摩根 (Augustus De Morgan 1806-1871) 將亞氏邏輯的「所有 S 都是 P」寫成「S))P」、將「有些 S 是 P」寫成「S()P」,方便做邏輯推算以及判斷論證是否對確。迪摩根記號法促進形式語言的發展,但在邏輯史上的影響卻遠不如他的另外兩個貢獻。第一個是他提出今日知名的「迪摩根定律」 (De Morgan's laws) :

Not both A and B = Either not-A or not-B
Not either A or B = Both not-A and not-B

第二個則是證明亞氏的三段論無法處理所有對確論證,例如「所有狗都是動物,因此所有狗的頭都是動物的頭」

十九世紀另一位舉足輕重的邏輯學家,布爾 (George Boole 1815-1864) 創出布爾代數 (Boolean algebra) ,使得邏輯學家可以用類似數學計算的方式檢查論證是否對確。比如,令「H」代表人類的集合、「M」代表會死的東西的集合、「G」代表希臘人的集合,「HM」代表 H 和 M 的交集(會死的東西),「H=HM」代表 H 的集合與 H 和 M 的交集是同一個集合,如此類推。上述的定言三段論可表達成

所有人都會死
所有希臘人都是人
因此,所有希臘人都會死
H=HM
G=GH
∴ G=GM

根據第一個前提 H=HM ,由第二個前提 G=GH 可得到 G=GHM (將 “H” 換成 “HM”)。由於第二個前提,剛才得到的語句其實就是 G=GM (將 “GH” 換成 “G”)。由此便可由前提逐步演算到結論。

布爾提出的布爾式子 (Boolean formula) 可詮釋成關於集合的式子,也可詮釋成關於語句的式子。最左的一欄是布爾式子,中間一欄將之詮釋成集合式子,右邊一欄詮釋成語句式子。

-A
A$\cap$B
A$\cup$B
Non-A 的集合
A 和 B 的交集
A 和 B 的聯合
Not A
A and B
A or B

假如「A」是動物的集合,「-A」就是非動物的集合;假如「A」是語句「亞里士多德是動物」,「-A」就是語句「亞里士多德不是動物」。嚴格而言,「-A」是「並非,亞里士多德是動物」。今日所謂的「布爾運作元」 (Boolean operator) ,通常是指關於語句式子的運作元,亦即是語句邏輯裡「不是」 (not) 、「而且」 (and) 、「或者」 (or) 等語句連詞 (sentential connective) 。

早在布爾前兩個世紀,萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716) 已經發明微積分,並提倡利用形式語言處理算術。當時萊布尼茲已創了與布爾相近的邏輯記號法,可惜相關著作卻在布爾的作品以後才出版。布爾在邏輯史上被視為「數理邏輯之父」 (the father of mathematical logic) ,因為他的貢獻為十九世紀末、二十世紀初的數理邏輯革命奠定基礎。

當代的數理邏輯,最直接的源頭是德國數學家弗列格 (Gottlob Frege 1848-1925) 。弗列格在 1879 年出版 Begriffsschrift (Concept Writing) ,提出一套遠比亞氏邏輯與斯多葛邏輯更加強大的邏輯系統,一方面能處理關於「所有」、「有些」等關乎數量的語句,另一方面又可應付「如果…則…」、「不是」、「而且」等連詞。弗列格的系統基本上就是今日述詞邏輯 (predicate logic) 的原型,而且已經有明確的規則判別哪些式子合乎文法、哪些是恰當的證明序列。此外,使用弗列格的邏輯系統,我們甚至能夠處理亞氏邏輯與斯多葛邏輯都無法處理的論證,例如,弗列格的系統可以證明「有一個人是所有人都喜歡的,因此,所有人都喜歡至少一個人」是對確論證。

不過,弗列格當時採用的記號法相當彆扭。他用來翻譯「不是」、「如果…則…」、「所有」的記號是:


語句「不是所有 A 都不是 B 」在現時的邏輯系統翻譯成「¬∀x(Ax→¬Bx)」或者「∃x(Ax∧Bx)」,但在弗列格的系統卻要「畫」成:


因此,現今只需寫幾行的邏輯推論,用弗列格系統便可能要畫一幅橫跨數頁的圖。不少學者都認為,弗列格一直為學界所忽略,有部分得歸咎於他這套「趕客」的記號法。

邏輯系統只是弗列格哲學計劃的一部分。弗列格的哲學計劃叫做「邏輯主義」 (logicism) ,基本想法是:數學能夠化約(還原)成邏輯。他的邏輯系統就是為了實現這個目的而出現。在他的系統,除了最基本的證明規則,尚有一些他認為明顯正確的公理 (axiom) 。透過這些公理和證明規則,弗列格相信可以由此推導出所有數學真理。然而,弗列格的夢想很快就隨著他在 1902 收到的一封信而破滅。當時弗格列已出版他邏輯主義計劃的第一冊書,準備出版第二冊,那封信卻指出整個計劃最核心的系統有一條公理內含矛盾,使得他的計劃從根基被摧毀。弗列格在當時匆匆修正第二冊的內容,但很快就發現他的修正於事無補,最後終於放棄了自己半輩子的計劃。

那封 1902 年的信,寄出人是羅素 (Bertrand Russell 1872-1970) ,信內證明矛盾的想法,衍生出日後的羅素悖論 (Russell’s Paradox) 。羅素毀了弗列格的畢生志業,但同時也是弗列格的伯樂。弗列格在生的時候籍籍無名,他的哲學和邏輯也只有極少人留意,因為羅素的推崇和影響,學界才漸漸注意到他,甚至後來被尊為分析哲學的老祖宗。

羅素本身也是邏輯主義者,認為數學能夠化約成邏輯。他延續弗格計的計劃,和老師懷德海 (Alfred North Whitehead 1861-1947) 合作,著力發展一套能夠避開羅素悖論的邏輯系統,創了另一套更平易近人的記號法(非常接近今日邏輯採用的記號法)。在意大利數學家皮亞諾 (Giuseppe Peano 1858-1932) 基礎之上,羅素和懷德海在 1910 至 1913 年出版了 Principia Mathematica ,這本巨著所陳構的邏輯系統成為當代的標準系統,取代主導了邏輯學二千年的亞氏邏輯。

弗列格和羅素的邏輯系統除了記號法有差異,其他大致一樣,因此兩者同被歸為「古典邏輯」 (classical logic) 。嚴格而言,弗列格的邏輯系統是無限階邏輯,而一般所謂的古典邏輯往往只限於語句邏輯和一階述詞邏輯。取名「古典」,並非由於它夠古老。比年資,亞氏三段論比古典邏輯老二千多歲。「古典邏輯」的「古典」 (classical) ,意思其實是「標準」 (standard) ,因為這系統已經是現時基礎邏輯課的必學系統。“Mathematical techniques of a quite novel kind were applied to the subject, and a new theory of what is logically correct was developed by Gottlob Frege, Bertrand Russell and others. This theory has now come to be called ‘classical logic’. The name is rather inappropriate, since the logic has only a somewhat tenuous connection with logic as it was taught and understood in Ancient Greece or the Roman Empire. But it is classical in another sense of that term, namely standard. It is now the logic that people normally learn when they take a first course in formal logic.” (Priest, 2008, p.xviii)

在弗列格和羅素以後,邏輯學家發展出另一套更簡潔的記號法,稱為「波蘭記號法」 (Polish notation) 。此外,弗列格和羅素的證明系統是公理證明法,後來的邏輯學家另外發展出自然演繹法 (natural deduction) 、樹枝證明法 (tableau) 、序列證明法 (sequent calculus) 等證明系統。除此外之,維根斯坦 (Ludwig Wittgenstein 1889-1951) 和普斯特 (Emil Leon Post 1897-1954) 獨立發明了真值表法 (truth table method) ,建立了古典語句邏輯的語意。後來的塔斯基 (Alfred Tarski 1901-1983) 發展出另一套更強大的語意理論,古典述詞邏輯的語意也得以確立。

然而,邏輯系統的「極限」亦在同一時間漸漸浮現。二十世紀的數學家哥德爾 (Kurt Gödel 1906-1978) 一方證明古典邏輯的完備定理 (completeness theorem) ── 羅素系統的邏輯真理都可用他的公理系統證明 ── 另一方面也證明了算術不完備定理 (incompleteness theorem of arithmetic) ── 沒有一致的公理和推論規則可以證明所有數學真理,對邏輯主義投下一枚核彈。著名的「哥德爾定理」 (Gödel’s theorem) ,指的正是後者。嚴格而言,哥德爾定理有兩條,分別是哥德爾第一不完備定理和哥德爾第二不完備定理,兩個定理的意思並不一樣。與此同時,邱奇 (Alonzo Church 1903-1995) 證明沒有機械式的演算法可以判斷述詞邏輯的每一個論證是否對確。

電腦的出現和發展,背後有不少觀念 ── 如邏輯閘 (logic gates) ── 與邏輯學有密切關連。著名的邏輯學家馮紐曼 (John von Neumann 1903-1957) 、圖靈 (Alan Turing 1912-1954) 、伯克斯 (Arthur Burks 1915-2008) 都曾協助設計電腦。由於電腦和邏輯的密切關連,當代修習邏輯的學部除了哲學和數學,還有計算機科學 (computer science) 。

弗列格和羅素的古典邏輯確立了當代數理邏輯的模範,亦催生了更多不同類別的邏輯系統。二十世紀的邏輯學家路易斯 (Clarence Irving Lewis 1883-1964) 研究中世紀以後一直為人忽略的模態邏輯,其後由克里普克 (Saul Kripke) 等人建立模態邏輯的語意,引出一個龐大的邏輯家族。由於哲學上的爭議,非古典邏輯 (non-classical logic) 相繼出現:處理信念的信念邏輯 (doxastic logic) 、處理知識的知態邏輯 (epistemic logic) 、處理時間的時態邏輯 (tense logic) 、處理規範語詞的道義邏輯 (deontic logic) 、處理部分與整體關連的部分整體論 (mereology) 、處理空詞 (empty term) 的自由邏輯 (free logic) 、容許真假以外的值的多值邏輯 (many-valued logic) 、容許無限多真假值的模糊邏輯 (fuzzy logic) ,甚至是某些容許語句既真且假的超一致邏輯 (paraconsistent logic) 。

雖然當代反對古典邏輯的學者非常多,而非古典邏輯的系統亦可謂百花齊放,不過,根據 Philpapers 於 2009 一項統計,目前依然有過半數學者認為古典邏輯是正確的邏輯系統。其實選古典邏輯的人是不是只是因為沒學過非古典邏輯……



† 本文主要參考 Gensler (2010) 與 Copi (2014) 。

Reference
Copi, Irving M. & Cohen, Carl & McMahon, Kenneth (2014). Introduction to Logic (14th). Pearson.
Gensler, Harry J. (2010). Introduction to Logic (2nd ed.). Routledge.
Kant, Immanuel (1929). Critique of Pure Reason. Norman Kemp Smith translation. (url: http://staffweb.hkbu.edu.hk/ppp/cpr/toc.html)
Priest, Graham (2000). Logic: A Very Short Introduction. Oxford University Press.
Priest, Graham (2002). Beyond the Limits of Thought. Oxford University Press.
Priest, Graham (2008). An Introduction to Non-Classical Logic: From If to Is. Cambridge University Press.

6 comments:

  1. 話paraconsistent logics容許語句既真且假,似乎有點不妥。

    1) paraconsistent logic 的特徵是,它不容許 explosion (i.e., A, ¬A ⊧ B)。
    2) 不是所有 paraconsistent logic都容許語句既真且假。譬如,paraconsistent logic中的non-adjunctive systems,它並非像基於 many-valued logic 語意學的 paraconsistent logic, 可以容許語句的其中一個value,被詮釋為既真且假。

    詳見 (section 3.1, 3.2):http://plato.stanford.edu/entries/logic-paraconsistent/#NonAdjSys

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    1. 你說的對,我原本只是想講一些容許既真且假的系統,而不是全部,所以加了「甚至是」,不過還是不夠清楚,現在再多加個 qualification 。感謝!

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  2. 留意到文中提到 Incompleteness Theorem of Arithemetic 「對邏輯主義投下一枚核彈」。如果以歷史角度看,這樣說就有點誤導,因為 Gödel 在 1931發表 First Incompleteness Theorem時,logicism 基本上已經沒落。

    Peter Smith的 An Introduction to Gödel's Theorem (first edition, p.252) 提到:
    "But logicism wasn’t really Gödel’s main target. For, by 1931, much of the steam had already gone out of the logicist project. Instead, the dominant project for showing that classical infinitary mathematics is in good order was Hilbert’s Programme, which we have already mentioned a few times."

    他沒有交代,為什麼 logicism當時已經沒落,但眾所周知,這是由於 Russell's paradox, 以及 ZFC set theory 的盛行。

    (另外,「沒有一致的公理和推論規則可以證明所有數學真理」這句似乎有點不妥,因為不是所有一致的形式系統都是 negation-incomplete; Peter Smith 的書中提到一個比 Robinson Arithemetic 更簡單的算術系統(他稱為 Baby Arithmetic)是 negation-complete。這是因為 Baby Arithmetic的語言的 expressive power太低;Baby Arithermetic 的詞語沒有 quantifier。所以,First Incompleteness Theorem 的結果,必須限制在有一定表達能力的形式系統,才能成立。所以,就算 Stanford Encyclopedia of Philosophy的條目中,一開頭對 First Incompleteness Theorem最粗疏的 formulation 也寫成: "The first incompleteness theorem states that in any consistent formal system F within which "a certain amount of arithmetic can be carried out" (my emphasis) , there are statements of the language of F which can neither be proved nor disproved in F")

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    1. 我知道當時 logicism 已經沒落,而 Gödel 的目標是 formalism ,但是 incompleteness theorem 對 logicism 整個理論也是枚核彈 (neo-logicism 當成另一回事) 。 Frege 的系統是因為 Russell’s Paradox 和 ZFC ,但要說 logicism 而不限於 Frege 的話,羅素的 simple type theory 和 ramified type theory 以及相關的哲學爭辯也得說,太多了。文章裡因為提到 Frege 和 Russell 的系統,所以才順便提當代最有名的定理對它們的(理論)影響。

      Baby Arithmetic 沒有證明所有數學真理吧?我以前會加「足夠強的表達力」,但若果已經要求「證明所有數學真理」,就沒有必要額外提表達力。其實要寫得嚴格的話還是有例外,因為沒有排除直接將所有數學真理當成公理的系統 (Hunter, Metalogic, pp.228-229; Sider, Logic for Philosophy, p.106) ,不過我想實在沒有必要再加,因為大概只有你和幾個人看得懂吧。

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  3. hey did u try to say "以下" in "比如,下以便是一個論證:" ?

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