歸謬法和反證法

之前從《哲道行者》看到李天命說「歸謬法」和「反證法」有分別,當時查了一些資料,仍然不肯定李生心目中的意思。後來日子久了,對李生的區分已不太在意,但依然好奇這兩個概念在學界有沒有分別。近日與友人 C 聊起這件小事,當時 C 表示對這個區分沒有印象。隔幾天,他告訴我,陸鐘萬的《面向計算機科學的數理邏輯》(第二版,頁 176-177 )有解釋兩者的差異。

根據陸鐘萬的用法,如果要證明「P」,可用反證法:

(反證法) 假設「非P」,推導矛盾,故證明「P」

然而,如果用歸謬法,實際上所做的是

(歸謬法) 假設「非P」,推導矛盾,故證明「非非P」

「非非P」和「P」是不同的命題,歸謬法要加上 (DN-) 才可證明「P」

(DN-) 「非非P」可推導「P」

因為使用歸謬法證明「非非P」後,透過 (DN-) ,就可由「非非P」推導「P」,亦即是反證法所證明的結果。攏統點說:反證法等於歸謬法加 (DN-) 。

事實上,歸謬法和反證法不僅在概念上有分別,有些邏輯系統甚至只能用歸謬法,不能用反證法。陸鐘萬說的邏輯系統叫「結構性邏輯」,這其實就是現時所講的「直覺邏輯」 (intuitionist logic) 。 (DN-) 在古典邏輯雖然成立,在直覺邏輯卻不然。

在古典邏輯,語句的意義是真值條件 (truth conditions) ,也就是「語句為真的情況」。然而,語句的意義在直覺邏輯不是真值條件,而是證明條件 (proof conditions) ,即是「證明語句為真的情況」。在直覺邏輯,語句「P」成立代表有證明證實「P」,「非P」成立代表有證明證實「P」沒有證明。

「P」成立 = 有證明證實「P」
(there is a proof of P)
「非P」成立 = 有證明證實「P」沒有證明
(there is a proof that there is no proof of P )
「非非P」成立 = 有證明證實「非P」沒有證明 = 有證明證實:沒有證明證實「P」沒有證明
(there is a proof that there is no proof that there is no proof that P)

即使證實沒有證明證實「P」沒有證明,也不代表有證明證實「P」。所以「非非P」在直覺邏輯不可推導出「P」。

直覺邏輯可用模態邏輯的 S4 系統捕捉,其中「『非P』在 w 為真」的定義是「『P』在所有相對 w 有可能的世界都為假」。用形式系統可建構「『非非P』可推導出『P』」的反例。


$w_0$ 和 $w_1$ 都是相對於 $w_0$ 有可能的世界($Rw_0w_0$, $Rw_0w_1$),而 $w_1$ 是相對於自己有可能的世界($Rw_1w_1$)。套用定義:

(D1). 「非P」在 $w_0$ 為真 = 「P」在所有相對 $w_0$ 有可能的世界為假
(即是,「P」在 $w_0$ 和 $w_1$ 都為假)
(D2). 「非P」在 $w_1$ 為真 = 「P」在所有相對 $w_1$ 有可能的世界為假
(即是,「P」在 $w_1$ 為假)
(D3). 「非非P」在 $w_0$ 為真 = 「非P」在所有相對 $w_0$ 有可能的世界為假
(即是,「非P」在 $w_0$ 和 $w_1$ 都為假)

由於「P」在 $w_1$ 為真,根據定義 (D1) 和 (D2) ,「非P」在 $w_0$ 和 $w_1$ 都為假。再根據定義 (D3) ,「非非P」在 $w_0$ 為真。於是,在 $w_0$ ,「非非P」真但「P」假。

沒有留言:

技術提供:Blogger.