2015年3月12日


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學邏輯有個不可不識的概念 ── 有效論證 (valid argument) 。「有效論證」的定義有三個陳構方式,最常見的陳構是

如果前提全部為真,則必然地結論為真

這個陳構最貼近日常用語,也最適合用來做初步說明。不過,嚴格而言,這個陳構有歧義,另外兩個則沒有

必然地:如果前提全部為真,則結論為真
不可能:前提全部為真且結論不為真

前者雖然嚴謹,但卻不是日常用法。將「必然地」放在條件句前面,倒更易令初學者感到困惑,因此我解釋有效論證,都習慣用後者:不可能前提皆真但結論不為真。

明白一個概念的定義是一回事,知道這個定義的邏輯後果是另一回事。學過基礎邏輯應該已明白「有效論證」的意思,但就未必知道「有效論證」一些相應的邏輯後果。以下四條簡單的問題,是關於我認為「有效論證」最重要的四個邏輯後果,學過基礎邏輯應該要知道答案。

問題一:假設論證「A /∴ C」是有效論證。任意加上一個前提 B ,新論證「A, B /∴C」有沒有可能是無效論證 (invalid argument) ?(設左邊的論證有效,問右邊的論證有沒有可能無效。)


A
----------
/∴C
A
B
---------
/∴C

問題二:假設論證「D /∴ E」是無效論證。加上甚麼前提可以保證新論證是有效論證?


D
----------
/∴E
D
???
---------
/∴E

問題三:如果 F 不可能是真的(如「1+1=3」、「有些單身漢不是男人」),論證「F /∴ G」有沒有可能是無效論證?

問題四:如果 I 是必然真的(如「1+1=2」、「所有單身漢都是男人」), 論證「H /∴ I」有沒有可能是無效論證?


***


答案一:不可能。
證明:假設「A /∴ C」是有效論證。根據定義,不可能前提 A 真而結論 C 不為真。換言之,「 A 真並且 C 非真」的情況不可能出現。因此,「 A 真並且 B 真並且 C 非真」的情況也不可能出現。由於不可能 A, B 真而 C 非真,根據定義,「A, B /∴C」是有效論證。

答案二:至少有三個方法。(甲)加上一個條件句「如果 D 則 E 」;(乙)將結論「E」加到前提;(丙)加上一個不可能為真的前提(參考問題三)。

答案三、四:不可能。
證明:這兩題的原理相近。有效論證的定義是「不可能前提皆真而結論不為真」,在「前提不可能真」和「結論必然真」這兩種情況,論證會符合此定義。

(甲)前提不可能真,即是不可能出現「前提真」的情況,因此也不可能出現「前提真並且結論非真」的情況。
(乙)結論必然真,即是不可能出現「結論非真」的情況,因此也不可能出現「前提真並且結論非真」的情況。

套在問題三和四:如果 F 不可能真,自然不可能 F 真而 G 非真,進而 ── 根據定義 ── 「F /∴ G」是有效論證;如果 I 必然真,自然不可能 I 不為真,根據定義, 「H /∴ I」 是有效論證。


***


備註
  1. 「如果前提全部為真,則必然地結論為真 」的歧義在於有兩個解讀:(甲)如果前提全部為真,則,在所有可能世界結論為真;(乙)在所有可能世界,如果前提全部為真,則結論為真。(即是 (p→□q) 和 □(p→q) 的分別。)後一個正是第二個陳構的意思,同時也是最自然的解讀,所以基礎邏輯書一般仍採用這個陳構做最初的說明。
  2. 第一個後果可以突顯有效演繹論證 (valid deductive argument) 與強歸納論證 (strong inductive argument) 的差異:有效演繹論證無論加多少前提依然有效,強歸納論證加前提可能變成弱歸納論證 (weak inductive argument) 。
  3. 第一個後果在形式邏輯叫做「單調性」 (Monotonicity) ,當代有些形式邏輯系統沒有單調性這個性質。
  4. 若果接受二值原則,可將「非真」、「不為真」換做「假」、「為假」。

7 comments:

  1. 對於問題一,我猜有好多人的疑難,在於如果我們加入去的前提B,其真值和C是必然相反的(即沒可能有一個世界是B和C皆真),則表面上好像沒有理由相信前提為真時,結論一定真(因B為真時C必然為不真)。故好像加這樣一個前提入去會使論證變成無效。

    這樣的話就更突顯到為何「不可能:前提全部為真且結論不為真」比「如果前提全部為真,則必然地結論為真」是個更好的定義。因為如果用後者來定義的話,初學者的直覺不一定覺得上述的情況(B和C的真值必然相反)會符合這定義;要符合這定義,我們還要用material implication來理解這個「如果...則」。而很多時候我們也不是如此理解日常語言中的「如果...則」的。

    但若我們用「不可能:前提全部為真且結論不為真」就清楚很多了。因為沒有一個前提全部為真且結論不為真的世界(因沒有一個世界全部前提[A和B]為真),所以這個論證也是有效的。

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    1. 同意因為日常語言的「如果...則...」有時貌似不是 material implication ,所以許多人初學會覺得 vacuously true 奇怪。不過在數學用 material implication 好像是非常平常(link)。

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  2. //「如果前提全部為真,則必然地結論為真 」的歧義在於有兩個解讀:(甲)如果前提全部為真,則,在所有可能世界結論為真;(乙)在所有可能世界,如果前提全部為真,則結論為真。(即是 (p→□q) 和 □(p→q) 的分別。)//

    根據我的語感「如果前提全部為真,則必然地結論為真 」(簡稱為A)這句話並沒有(甲)的意思。若要表達(甲)的意思,應該說「如果前提全部為真,則結論為必然地真」(簡稱為B)。

    而正由於中文不會(或很少會)把「必然地」置於句前,因此以A和B兩個不同的句子分別表達(甲)和(乙)的意思。

    同意否?

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    1. //而正由於中文不會(或很少會)把「必然地」置於句前,因此以A和B兩個不同的句子分別表達(甲)和(乙)的意思。//

      改為

      //而正由於中文不會(或很少會)把「必然地」置於句前,因此以A和B兩個不同的句子分別表達(乙)和(甲)的意思。//

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    2. 不同意。不少人初時看這個論證( 1-5)會覺得有點道理 (雖然稍稍細想可能就會發現問題) ,這很可能就是因為讀到「必然地」擺位的歧義。

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  3. //不少人初時看這個論證( 1-5)會覺得有點道理 (雖然稍稍細想可能就會發現問題) ,這很可能就是因為讀到「必然地」擺位的歧義。//

    (一)
    我們不能從「不少人覺得」有這個意思,就推論「事實上」有這個意思。可以是那些(為數不少的)人*誤*以*為*有那個意思,而事實上沒有那個意思。

    就像有不少人「以為」命題邏輯裡的質料條件句包含了日常語言裡「如果...則...」的*全*部*意思。但我們不能由此推論「事實上」命題邏輯裡的質料條件句就包含了日常語言裡「如果...則...」的*全*部*意思。如果有人這樣以為,不過表示這些人對質料條件句的意思有誤解。

    (二)
    我們可以通過例子B說明A沒有(甲)的意思。例如將A和B並列如下:

    A:「如果前提全部為真,則必然地結論為真」
    B:「如果前提全部為真,則結論為必然地真」

    如果某人起初「以為」A是(甲)的意思,但當我們提出B的時候,他看出了A跟B的意思不一樣,而B明顯是(甲)的意思,他就可以看出他起初的「以為」有誤。

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    1. //我們不能從「不少人覺得」有這個意思,就推論「事實上」有這個意思。//

      我們不能從「不少人覺得」有這個意思演繹出「事實上」有這個意思;但我們可以從「不少人覺得」有這個意思歸納出「事實上」有這個意思。(兩個有不一致結論的歸納法可以都是強歸納法。)

      我沒有說「如果 p 則必然地 q」的語意 (semantic, literal meaning) 包含了兩個意思,我說的歧義可以是語意歧義、語用歧義、語法歧義。

      我說「如果前提全部為真,則必然地結論為真」有歧義,是為了指出用「不可能:前提全部為真且結論不為真」的好處在於避開其中一個意思,儘管那個意思平常甚少出現(例如在某些論證裡才出現)(我在備註已經有說「後一個正是第二個陳構的意思,同時也是最自然的解讀」)。如果你同意不少人會有此解讀,那麼「不可能:前提全部為真且結論不為真」既然能避開這種解讀(不管是正確還是「誤以為」的解讀),就已經有好理由支持「不可能:前提全部為真且結論不為真」是更嚴謹的陳構,不需著眼在「如果 p 則必然地 q」本身的意思是甚麼、別人是不是「誤以為」。

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