2014年11月22日

歷史上發現的悖論(paradox)為數甚多,有些在大眾層面甚為有名,例如芝諾(Zeno of Eleatic, 490-430 BC)的鳥龜悖論,有些就只在學術圈有知名度,如韓培爾(Carl Hempel)的烏鴉悖論(Raven paradox)。羅素悖論(Russell's paradox)算是悖論界的表表者,不僅學者重視這個悖論,連不少非學術圈的人也聽過。羅素悖論是其中一個集合論悖論(set-theoretical paradox),源於羅素在 1902 年寄給弗列格(Gottlob Frege)的一封短封。羅素在這封信裡證明了弗列格的素樸集合論(naive set theory)本身內含矛盾。

甚麼是集合?用最通俗的講法:集合是 “a collection of things” 。換句話說,將一堆東西收集,所形成的,便是一個集合。集合可以擁有成員(member)。集合的成員可以是具體的事物,也可以是抽象的東西。收集所有貓而形成的集合,成員是一隻隻的貓;收集所有自然數所形成的集合,成員是一個個的自然數。沒有收集任何東西的集合 ── 即是沒有成員的集合 ── 叫做空集合。集合的成員本身也可能是集合,例如由自然數的集合所構成的集合。更複雜的是,有些集合本身可以包含自己,例如所有集合的集合:假設 X 是所有集合的集合,由於 X 本身也是集合,故 X 包含 X 作為自己的成員。

我們現在可以做一個劃分:所有的集合,它要麻是包含了自己,要麼不包含自己。依這個劃分,我們得到以下兩個類型的集合:
  1. 包含自己的集合
  2. 不包含自己的集合
有集合屬於第二類嗎?有,而且不少集合都屬此類。舉例來說,尺子的集合便屬於第二類。尺子的集合本身是集合,它裡面的成員都是尺子,由於尺子不是集合,所以尺子的集合不包含自己。然而,仔細看,這兩個分類本身也可以形成集合:

集合1 = { x | x 是包含自己集合 }
集合2 = { x | x 是不包含自己的集合 }

假如有「所有集合的集合」,我們便可將這個集合分成集合 1 和集合 2 。集合 1 是「由所有包含自己的集合所構成的集合」,集合 2 是「由所有不包含自己的集合所構成的集合」。尺子的集合、貓的集合、三角形的集合都是集合 2 的成員,因為這些集合都不包含自己。

可是,我們可以問一個問題:集合 2 本身包含自己嗎?假如集合 2 包含自己,根據集合 2 的定義,它便是不包含自己的集合(因為它的成員都不包含自己),因此集合 2 既包含自己又不包含自己。假如集合 2 不包含自己,它便屬於第二類,會在集合 2 裡面,因此集合 2 既不包含自己又包含自己。無論包不包含自己,集合 2 都會產生矛盾。

Photo Credit: Prabhu B Doss via Compfight cc
有一個與羅素悖論相提並論的悖論,叫做「理髮師悖論」(Barber paradox)。這個悖論的內容大致是:

有一個理髮師,他聲稱:「我替且只替(所有)不替自己刮鬍子的人刮鬍子」問題是,他替自己刮鬍子嗎?如果他替自己刮鬍子,根據宣言,他不替自己刮鬍子。如果他不替自己刮鬍子,根據宣言,他替自己刮鬍子。無論他替不替自己刮鬍子,都會有矛盾。

理髮師悖論是羅素悖論的通俗版本,裡面沒有用到集合論的術語,但結構與羅素悖論一樣。

似乎,當我們肯定有集合 2 ,便無可避免會產生矛盾。研究邏輯和集合的學者 ── 包括羅素本人 ── 在當時致力於解決羅素悖論所帶來的問題,其中一個方案由 Ernst Zermelo 在 1908 年提出:其實,根本就沒有所謂的「所有集合的集合」(the set of all sets)。

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