2014年8月6日

形式邏輯的「邏輯真理」(logical truth)是指在所有詮釋(interpretation)底下皆為真的語句。兩點補充。一,有些系統設定詮釋的方式比較特別,即使是 open formula 也可以有真假,而且可以在所有詮釋底下都是真的。二,有些多值系統將的「邏輯真理」不必在所有詮釋底下為真,而是在所有詮釋底下擁有指定指(designated value),這個指定值通常包含真值,但也可囊括真值以外的值(例如 i 值)。比如,古典語句邏輯裡面以下幾個語句都是邏輯真理

P→P, P∨∼P, ∼(P∧∼P)

然而,這些合規式卻非於所有系統都是邏輯真理,因為有非古典邏輯系統連一個邏輯真理也沒有!當中最為知名的叫做 $K_3$ (“K” for Kleene,這裡只談語句邏輯的版本)。這套系統是三值邏輯,有三個真假值:真值、假值、 i 值。最後一個值可待詮釋,不過暫時先當它是「非真非假」。「 i 值」可以有其他理解,例如「既真且假」、「未知」。此處的理解問題可以很複雜,例如 Saul Kripke 就在 “Outline of a Theory of Truth” 論證不該把 Kleene 的系統看成「有三個真假值」,而要看成「只有兩個真假值,而 i 代表無真假值」。方便起見,以下會用 1, 0, i 分別代表這三個值。

在 $K_3$ 裡,所有簡單語句的值都只會是 1, 0, i 其中一個。連詞的定義可用真值表表達(p↔q) 即是 ((p→q)∧(q→p)) ,故不贅。此外,有些人可能比較喜歡這個表:

Fig. 1

舉例來說,當 p 是 i 而 q 是 0 , (p∧q) 會是 0 ;當 p 是 1 而 q 是 i , (p→q) 會是 i 。值得注意的是,當 p 和 q 的值是 i , ∼p, (p∧q), (p∨q), (p→q) 的值也全都是 i 。

證明 $K_3$ 沒有邏輯真理,整個思路可以寫成

(一)有詮釋使所有簡單語句都是 i
(二)有詮釋使所有語句都是 i
(三)所有語句都至少在一個詮釋底下是 i
(四)所有語句都至少在一個詮釋底下不是 1
(五)所有語句都不是邏輯真理

(二)推論(三)、(三)推論(四)、(四)推論(五)都十分明顯,毋需再證。問題是(一)成不成立,以及(一)如何推論(二)。由於詮釋窮盡所有簡單語句的真假值(1, 0, i)的所有可能,一定有詮釋恰好派 i 給所有語句,因此(一)成立。唯一要證明的是,(一)如何過渡到(二),證明這點要用數學歸納法

對於每個語句 x ,如果 x 所包含的簡單語句都是 i ,則 x 本身也會是 i

首先是 base case ,設 x 是簡單語句,顯然 x 本身是 i 。接著是 induction case , x 是 ∼p, (p∧q), (p∨q), (p→q) 其中一個情況。根據歸納假設,如果 p 和 q 包含的簡單語句都是 i ,則 p 和 q 本身也是 i 。在第一個情況 x = ∼p 。 x 和 p 包含的簡單語句一樣,因此當 x 所包含的簡單語句都是 i , p 包含的簡單語句同樣都是 i 。根據歸納假設 p 本身也是 i 。根據真值表, x 也是 i 。由於 x = (p∧q), (p∨q), (p→q) 的情況太過相似,我用 (p♡q) 代表這三個情況。設 x = (p♡q) 。如果 x 所包含的簡單語句都是 i ,則 p 和 q 包含的簡單語句也都是 i 。據歸納假設 p 和 q 本身也是 i 。據 (p∧q), (p∨q), (p→q) 的真值表, x 也是 i 。

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