不可或缺論證

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數學哲學的柏拉圖主義是實在論 (realism) 的一派,主張數學物件獨立於心靈存在。在數學哲學裡,不可或缺論證 (indispensability argument) 是最常用來支持數學物件存在的論證。這論證源於數學和經驗科學微妙的關連:成功的經驗科學似乎都需要使用數學語言。身為不可或缺論證的捍衛者,W. V. Quine 和 Hilary Putnam 主張,數學作為經驗科學不可或缺的成分使我們有好理由相信數學物件存在。 Putnam 甚至明言不接受這點的人是「理智上不誠實」 (intellectual dishonesty) 。

由於 Quine 和 Putnam 是不可或缺論證最著名的支持者,現今哲學圈習慣將源自 Quine 和 Putnam 觀點的不可或缺論證統稱為 “Quine-Putnam Indispensability Argument” 。這個論證架構簡單,可大致寫成:

P1:我們應該承認,且只承認,所有最佳科學理論不可或缺的物件存在
P2:數學物件是最佳科學理論不可或缺的物件
C:我們應該承認數學物件存在

第一個前提實際上是兩個語句的連言:

P1a:我們應該只承認對最佳科學理論不可或缺的物件存在
P1b:我們應該承認所有對最佳科學理論不可缺的物件存在P1b 可以表達成「所有對最佳科學理論不可缺的物件,我們都應該承認它存在」;P1a 則能說是「只有對最佳科學理論不可缺的物件,我們應該承認它存在」。

Quine 對 P1a 和 P1b 的支持是來自他的兩個哲學立場:自然主義 (naturalism) 和驗證整體論 (confirmation holism) 。 Quine 的整體論可以分成兩種:驗證整體論和語意整體論 (semantic holism) 。驗證整體論其實就是科學哲學常提的 Duhem-Quine Thesis , 語意整體論與他攻擊分析綜合區分 (analytic-synthetic distinction) 有關。自然主義者主張只有好的科學理論所承認的事物存在,換言之,不是科學理論承認的事物便不會存在。因此,自然主義者肯定我們應該只承認最佳科學理論不能沒有的物件存在;自然主義支持 P1a 。驗證整體論者認為,經驗證據要麼驗證 (confirm) 一整個理論,要麼否證 (disconfirm) 一整個理論,不會只驗證或反證理論的某些部份。這個觀點蘊涵了,作為科學理論一部份的數學物件同樣會受經驗證據的驗證,因此我們應該承認最佳科學理論不可缺的物件都存在;驗證整體論支持 P1b 。

不可或缺論證會對同時支持數學唯名論 (mathematical nominalism) 和科學實在論 (scientific realism) 的人構成困擾。因為科學實在論者主張「科學的理論物件存在」的理由往往是「理論物件是科學成功不可或缺的一部份」,例如,電子、中子和夸克等理論物件的存在,是最好的物理學理論所不可或缺的成分,所以電子、中子和夸克存在。但是,基於相同的理由,數學物件也是科學不可或缺的一部份,科學實在論者應當也要肯定數學物件存在;換句話說,科學實在論者難以在數學哲學上持唯名論立場,宣稱數學物件不存在。

一般來說,數學哲學家較容易接受 P2 。但有趣的是, Hartry Field 在他 1980 的書 Science Without Numbers: A Defence of Nominalism 成功重寫牛頓重力理論的大部份內容,而完全沒有用到數字,這個舉動令某些人開始懷疑數學是否一定是成功科學理論不可或缺的成分。Hartry Field 在他很年輕的時候──大約在30歲左右──完成並出版 Science Without Numbers: A Defence of Nominalism ,這本書為他贏得科學哲學界非常非常有名的拉卡托斯獎。 Field 以此作為理由,進而主張數學不是所有科學理論不可或缺的成分,反對 P2。不過,當代數學哲學家普遍質疑不用數學重寫所有公認科學理論(例如,相對論、量子力學)的可能性; Field 的攻擊成立與否,目前仍備受爭議。

反對不可或缺論證的人大多都會把重心放在 P1 而非 P2 , Penelope Maddy 是其中的佼佼者。 Maddy 的反駁基本上是要指出,支持 P1a 和支持 P1b 的理由與實際的科學活動不相容:在科學家實際的科學活動裡,自然主義和驗證整體論互不相容,而我們應當支持自然主義。

Maddy 的第一個反對源自一個事實:科學家常對同一個理論的不同成分抱持不同的態度。譬如,科學家會承認同一個科學理論的某部份但反對它的另一部份,不一定會全盤接受整套理論。支持自然主義的理由來自科學的嚴謹性,因為科學家比非科學家更熟悉科學,所以自然主義者也應當主張我們要尊重科學家執行科學的方法。既然科學家不一定要支持整個理論,而能只支持理論的一部份,我們也不該認為理論會一整個受驗證或反證。可是,驗證整體論卻宣稱理論會一整個受驗證或反證,即是,理論的各部份都受到相同程度的驗證或反證。在這點 Maddy 認為我們應該支持自然主義,也就是說,我們沒必要承認所有對科學理論不可或缺的物件;我們應該反對 P1 。

緊接第一個反對, Maddy 指出,科學家提出科學理論不代表科學家同意科學理論所承認的事物存在。情況剛好相反,科學家最在意的是科學理論所說的事物是不是「理想元素」 (idealized elements) ,而不是在意它們是否「真實元素」 (true elements) (真實存在的元素)。例如,即使事實上水只有有限深(真實元素),但科學家在分析水波時卻會假設有無限深的水波(理想元素)。又例如,科學家在流體動力學會假設物質是連續的(理想元素),以進行科學研究。驗證整體論宣稱理論受驗證時連帶其所有的理論物件(元素)一併受驗證,但科學家在理論受驗證時卻常常只承認理論的真確性,而沒有連帶接受理論物件存在。基於自然主義者對科學家的尊重,我們應該放棄驗證整體論──我們不該支持 P1 。

Maddy 的第三個反駁來自數學實作和科學實作之間的關係:如果我們應該只同意科學理論承認的事物存在,數學家的工作將會變得難以解釋。數學家的許多研究都與科學進展無關,例如解決 Georg Cantor 提出來的「連續性假設」 (continuum hypothesis) 。自然數的集合是最小的可數無窮集合,實數的集合是最小的不可數無窮集合。這些數學問題獨立於科學理論,如果驗證整體論正確,面對一個受到經驗支持的科學理論,我們應當只支持數學中與理論相關的部份。更進一步說,數學家以與科學無關的數學難題和公設為研究對象的行為應當修正,可是這個結論並不合理。驗證整體論難以說明數學家的活動,使我們有理由反對 P1 。

除了像 Field 和 Maddy 般攻擊不可或缺論證的前提外,當代也有許多哲學家如 Charles Parsons, Philip Kitcher 攻擊不可或缺論證的健全性 (soundness) 。只是,在眾多反駁當中, Hartry Field, Penelope Maddy 和 Elliott Sober 的理由最受到普遍的重視,也最多人討論。



參考文獻
Colyvan, Mark (2011). Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics. SEP.

4 則留言:

  1. "Continuum hypothesis" 中的 "continuum" 通常譯作「連續統」,並且由康托爾提出。哥德爾則證明在 ZFC 集合論中無法否證連續統假設。

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  2. 我不太明白最後一段。攻擊某論證的soundness,不就是攻擊其前提,指其前提並不真確嗎嗎?

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  3. sound = 前提全真 & 前提蘊涵結論

    攻擊「前提全真」或「前提蘊涵結論」都算是攻擊論證的soundness

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