數學哲學的柏拉圖主義

一、基本主張

柏拉圖 (Plato, 428BC-348BC) 的理型論主張有抽象的物件獨立存在,因為柏拉圖和他的理型論極具名氣,以致日後在某領域相似的主張常被稱為該領域的柏拉圖主義。在數學哲學上主張數學物件乃抽象、獨立存在的物件,即被稱為數學哲學的柏拉圖主義。

數學哲學的柏拉圖主義(以下視脈絡簡稱柏拉圖主義)有三個核心要件:
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  1. 存在要件 (Existence)
    數學物件存在/有數學物件
  2. 抽象要件 (Abstractness)
    數學物件是抽象的
  3. 獨立性要件 (Independence)
    數學物件獨立於行為者(人類或生物)
第一個要件不難理解,其意思不過是斷言有某類物件存在:數學物件。一般來說,數學物件包括數字、集合和函數;即使所承認的數學物件種類不同,但只要肯定有數學物件存在,便皆符合第一個要件。第二個要件較為麻煩,但大抵來說,抽象的物件即是指不佔時空 (non-spatiotemporal) 和沒有因果效力 (causally inefficacious) 的物件。後者(缺乏因果效力)是否真的必要頗具爭議,然符合前者(不佔時空)一般會被視為是抽象的。至於第三個要件,獨立性要件,直覺上可以用反事實條件句 (counterfactual conditional) 概括:假若有智彗的行為者不存在、或者是他們的語言、思想和行為有所不同,數學物件依然會存在。基本上,第二和第三個要件奠基於第一個要件。


二、比較

▌數學哲學的柏拉圖主義 ─ 歷史上的柏拉圖主義
數學哲學的柏拉圖主義和柏拉圖本身的主張並非完全一樣。柏拉圖的主張既是形上學的主張,也是知識論的主張:柏拉圖除了主張有獨立且完美的理型世界外,更斷言人類會有關於理型的知識是因為人類天生便有理型的固有觀念 (innate ideas) 。相反,數學哲學的柏拉圖主義僅主張上述三點,僅僅是一個形上學主張,非旦沒有斷言理型世界的存在,更是對獲得數學知識的途徑一無所述。換句話說,歷史上的柏拉圖主義比數學哲學的柏拉圖主義斷言更多。

▌柏拉圖主義 ─ 反唯名論
唯名論 (nominalism) 主張沒有抽象物件存在,反唯名論 (anti-nominalism) 的主張是唯名論的否定,即是,有抽象物件存在。易言之,唯名論反對柏拉圖主義的前兩個要件──存在要件和抽象要件;相反,反唯名論者肯定這兩個要件。由此可知,柏拉圖主義蘊涵反唯名論。然而,由於反唯名論本身沒有蘊涵獨立性要件,所以反唯名論者沒有蘊涵柏拉圖主義。


三、捍衛三要件

▌存在要件
在哲學界一個流行用來支持數學物件存在的論證,因為其形式相似於弗列格 (Gottlob Frege, 1848-1925) 常用的論證方式,故稱為弗列格式論證 (Fregean Argument) 。弗列格式論證肯定兩個原則,再藉以推論數學物件存在:
  1. 古典語意論 (Classical Semantics) 原則
    如果數學語句要能為真,則它的單稱詞和量化詞所拘束的變元皆能成功指稱到數學物件。
  2. 真理 (Truth) 原則
    大多接受為數學定理的數學語句都是真的。
舉例來說,費馬最後定理「如果 $n$ 是大於 $2$ 的整數,則 $x^n+y^n=z^n$ 沒有非 $0$ 整數解」的「$n$」、「$x$」、「$y$」、「$z$」都是有被拘束的變元,因為它的邏輯式是(令論域為整數集合)

$$(∀n>2)(∀x≠0)(∀y≠0)(∀z≠0)∼(x^n+y^n=z^n)$$
所以,如果費馬最後定理為真,根據古典語意論,「$n$」、「$x$」、「$y$」、「$z$」都有成功指到數學物件。

弗列格式論證大概長這樣:考慮某些已被視為定理的數學語句。根據真理原則,這些語句大多是真的。令 S 為其中一個真的數學語句。根據古典語意論, S 為真意味 S 的單稱詞和它的變元成功指稱數學物件。因此,數學物件存在。

▌抽象要件
一般認為「抽象」的本質就是「不佔時空」,反對「數學物件是抽象的」即反對「數學物件不佔時空」,亦即是變相主張數學物件佔據時空。若果數學物件有時空位置,數學家應當會──像物理學家對物理物件 (physical objects) 的位置感興趣般──對數學物件的時空位置感興趣。不過,純數學研究實際上卻從不會探討數學物件的位置。因此,數學物件不佔時空,是抽象的。

▌獨立性要件
常識上理解「獨立」意思的方法係以物理物件做類比:數學物件獨立於行為者存在的方式類似於物理物件獨立於行為者而存在。關於獨立性要件成立與否,哲學家幾乎沒有相關討論,因為幾近所有哲學家都看不到它為何會錯。一個對它的「專業」支持來自哥德爾 (Kurt Gödel, 1906-1978) 。哥德爾主張,某種柏拉圖主義(包含獨立性要件)的成立是對合法的非直謂式定義 (impredicative definition) 最好的解釋非直謂式定義 (impredicative definition) 是指以整體界定部份的定義,例如「房間裡最高的人」是房間裡所有人(整體)的其中一個(部份),透過房間裡的所有人來界定「房間裡最高的人」便是非直謂式定義。羅素悖論的「由所有不屬於自己的集合所形成的集合」也是非直謂式定義,因為這個集合涉及「所有集合」。;也就是說,假設獨立性要件成立會是解釋非直謂式定義成立的最好手段。


四、小結

雖然柏拉圖主義相當有名,不過當代並不乏對柏拉圖主義的反對。在柏拉圖主義所承認的三要件當中,存在要件一直備受爭議。除此之外,柏拉圖主義在知識論和形上學兩個面向亦常遇到抗議。在知識論上,若果數學物件既獨立於時空又沒有因果效力,人們如何獲得數學知識似乎會變得難以解釋。在形上學方面, Paul Benacerraf 在他著名的 “What Numbers Could Not Be” 裡提出有力的論證,反對把自然數視為物件,間接攻擊柏拉圖主義的基本預設:數字是數學物件。有趣的是,當代極有名氣的兩位哲學家奎因 (W.V.O. Quine, 1908-2000) 和帕特南 (Hilary Putnam) 也提出一個支持柏拉圖主義的論證:不可或缺論證 (indispensability argument) 。



參考文獻
Øystein Linnebo, (2013). “Platonism in the Philosophy of Mathematics”. SEP

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