2013年7月22日


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1. Inverted iota

「℩」(inverted iota) 是希臘字母 「ι」(iota) 的倒轉版。它在語言哲學紅起來,主要得歸功於羅素(Bertrand Russell)用這個符號代表確定描述詞 “the”。羅素認為 “the F is B ” 的意思是「有一個獨一無二的 F 是 B 」,例如「那一個 Waverley 的作者是男人」(The author of Waverley is a man)即是「有一個獨一無二的 Waverley 作者是男人」。它雖然與「所有 x」(∀x) 和「有個 x」(∃x) 兩個量化詞(quantifier)類似,但兩者其實南轅北轍。譬如,在以下三行

∀x(x is presently King of France)
∃x(x is presently King of France)
℩x(x is presently King of France)

第一行是語句,它的意思是「所有東西都是現任法國國王」。第二行也是語句,意思是「有個東西是現任法國國王」。但第三行不是語句,它只是一個詞(term) ,意思是「現任法國國王」(the presently King of France)。(一)將 “the presently King of France” 譯做「現任法國國王」的做法非常普及,但我其實覺得並不恰當,只是自己也未想到更好的翻譯。我一直認為,「現任法國國王」和 “the presently King of France” 語感始終有落差,當中最大的差異是,「現任法國國王」完全沒有「獨一無二」的含意, “the presently King of France” 則會有這層意味。譬如,想像一個對法國政情毫無認識的人,被告知有「兩個現任法國國王」,他大抵不會覺得驚訝。但是,如果被告知有「兩個 the presently King of France 」,他應該會馬上感到困擾,因為 “the presently King of France” 在意思上似乎已限制 “presently King of France” 的數量只有一個。(二)嚴格來說,在羅素的描述詞理論,單獨看 “the presently King of France” 是無意義的,確定描述詞必須放在語句裡,才會有意義。正如「老虎會飛」是語句,「老虎」則只是詞一樣。

在邏輯上使用 ℩ 的原因很簡單:因為它可以透過顯示詞的複雜結構,進一步彰顯句子的內部結構。以「現任法國國王是禿頭」這個簡單語句為例。語句邏輯只能將它寫成:

P

這種翻譯完全無法呈現簡單語句內部的結構。述詞邏輯能在翻譯時更進一步保留它的內部結構。不過,能保留至何等地步仍要視乎我們如何理解「現任法國國王」這個詞。基礎邏輯書一般不會區分確定描述詞(definite description)和專有名詞(proper name),一律使用常元(constant)來翻譯單稱詞(singular term)。假設查理二世是現任法國國王,使用常元 a 無法分辨它是專名「查理二世」,還是確定描述詞「現任法國國王」。因此,「現任法國國王是禿頭」和「查理二世是禿頭」在古典邏輯都會譯成以下的形式:

B(a)
(a) 是 B
[ a: the presently King of France/ Charles II"; Bx: x is Bald ]

但若果學羅素細分單稱詞的種類, Ba 只能翻譯有用專名的「查理二世是禿頭」,涉及確定描述詞的「現任法國國王是禿頭」則要譯成:

B(℩x(x is presently King of France))
(℩x(x is presently King of France)) 是 B
有一個獨一無二的現任法國國王是 B
[ Bx: x is Bald ]

常元 a 換成 ℩x(x is presently King of France) ,翻譯後更能顯示原本的句子使用了確定描述詞 “the presently King of France” 。此外,由於「x 是現任法國國王」(x is presently King of France)同樣是述詞,可以用 “Kx” 表示,所以這句可以再濃縮成

B(℩xKx)
有一個獨一無二的 K 是 B
[ Kx: x is the presently King of France; Bx: x is Bald ]

如此一來,原本的 a 現在換成了 ℩xKx 。值得一提,在羅素的描述詞理論, B(℩xKx) 等值於

(∃x)(Kx ∧ (∀y)(Ky→y=x) ∧ Bx)
有個 x , x 是 K ,而且所有是 K 的 y 都是 x ,而且 x 是 B
[ Kx: x is the presently King of France; Bx: x is Bald ]

但只觀察後者,無法看出原本的句子有否包含確定描述詞,比如無法分辨它到底譯自包含確定描述詞的「現任法國國王是禿頭」,還是不包含確定描述詞的複合句「現今有一個法國國王,而且只有一個法國國王,而且他是禿頭的」;採用 ℩ 能更忠實反映原句的文法結構。

有人可能會納悶,為甚麼要在邏輯系統區分專名和確定描述詞?理由是,現在有不少人都認為專名和確定描述詞的語意完全不一樣。使用專名的證論,一旦換成確定描述詞,可能會從有效(valid)變無效(invalid),或從無效變有效。邏輯要盡可能捕抓所有有效論證和無效論證的形式,就需要考慮這點。因此,即使你不接受羅素對確定描述詞語意的分析,只要你同意確定描述詞和專有名詞在語意上有差異,這便足以作為在邏輯系統作出相應區分的初步理由。

最後是關於標記法(notation)。羅素與白頭佬(Alfred North Whitehead)合著的三本鉅著 Principia Mathematica 的第一本(p. 181),用 ℩ 作為 “the” 的翻譯( SEP 的 “The Notation in Principia Mathematica” 有其他符號的意思)。後來的邏輯書雖然偶有介紹描述詞邏輯,但就未必徹底沿用他們的符號,例如 Ted Sider 的 Logic for Philosophy (pp. 113-119) 就直接用 ι (未倒轉的 iota)。

2. Lambda

另一個符號 λ (Lambda) 最早與形式系統扯上關係,大抵源於 Alonzo Church 在 1928 年左右構想的 Lambda Calculus (或稱 λ-Calculus)。有趣的是,這套系統與羅素仍有着微妙的連繫: Church 構想此系統的動機,是要設計一套比羅素的類型論(Type theory)和 Zermelo 的集合論(Set theory)更為自然的形式系統;他選擇「λ」這個符號,靈感也是來自羅素的「x̂」,Church 先把「x̂」修改成「∧x」,後來又為了便利印刷改成「“λx”」。時至今日,邏輯上常見的 λ 在用法方面已經與 Church 的標記法有些許出入。

λ 與 ℩ 一樣可進一步彰顯句子的內部結構。不過,它不是用來顯示的複雜結構,而是用來顯示述詞(predicate)的複雜結構。在今日最普遍的述詞邏輯系統,要翻譯「小明又肥又矮」有兩個方法:

Ha
a 是 H
[ a:小明; Hx: x 又肥又矮 ]

Fa∧Sa
a 是 F 而且 a 是S
[ a:小明; Fx: x 是肥胖的; Sx: x 是矮的 ]

第一個譯法會將「又肥又矮」當成一個簡單述詞。第二個譯法雖然將「肥胖」和「矮」分成兩個述詞,但同時亦將原本的一個句子分成兩句:「小明是肥胖的,而且,小明是矮的」。引入 λ 可具體地呈現「又肥又矮」這個複合述詞的內部結構,又毋需將一個句子分拆:

(λx(Fx∧Sx))a
a 是 λx(Fx∧Sx)
[ a:小明; Fx: x 是肥胖的; Sx: x 是矮的 ]
注意: (λx(Fx∧Sx)) 是一個述詞

λ 的作用範圍代表一個完整個述詞, (λx(Fx∧Sx))a 的閱讀方式其實與 Ha 很相似,只要將 H 看成複合述詞 (λx(Fx∧Sx)) 。但「(λx(Fx∧Sx))」是甚麼東西?(如果述詞指性質,)它指到某個性質:「肥並且矮」(Fx∧Sx)這個複合性質。

再舉一例,「小明不是天才」在通用的古典邏輯系統,會譯做:

∼Ga
並非, a 是 G
[ a:小明; Gx: x 是天才 ]

不過一但加入 λ ,會發現這其實有歧義:

∼(λxGx)a
a 不是 λxGx
a:小明; Gx: x 是天才 ]

(λx∼Gx)a
a 是 λx∼Gx
a:小明; Gx: x 是天才 ]

在第一個譯法底下,小明不具有「天才」這個性質。在第二個譯法底下,小明具有「不是天才」這個性質。對相信有「否定性質」(negative property)的人, λ 是幫助釐清的重要工具。

當然,有不少述詞比目前的例子還要複雜,但透過 λ 仍可在翻譯後保留原本的結構。比如「小明喜歡每個對他好的人」,如果你想說小明有性質「喜歡每個對他好的人」,你便要將它譯成:

(λx(∀y(Tyx→Lxy)))a
a 是這樣的:對於所有 y ,如果 y 對 a 好,則 a 喜歡 y。
[ a:小明; Tyx: y 對 x 好; Lxy: x 喜歡 y ]

此外,還有一些表達二階性質的句子,可以(但不一定要)用 λ 來表達,例如「在自己犯錯時四處招惹別人是件愚蠢的行為」。由於「在自己犯錯時四處招若別人」本身已經是一個(複合)性質,要用述詞來表達。此句說「在自己犯錯時四處招若別人」本身具有另一性質「是愚蠢的行為」。使用包含 λ 的邏輯系統,可以將它譯成

$C^{2}(λx(Wx∧Vx))$
$λx(Wx∧Vx)$ 是 $C^{2}$
[ $C^{2}x$; x 是愚蠢的行為; Wx: x 犯錯; Vx: x 招惹別人]
注意: (i) 將 (λx(Wx∧Vx)) 看作一個東西。(ii) $C^{2}$ 的上標 “2” 只是為了強調它在此表達二階性質。

又例如「如果小明用手指挖鼻屎,而用手指挖鼻屎是件不衛生的事,那麼小明便做了件不衛生的事」:

$(Na∧K^{2}(λxNx))→(∃X)(K^{2}X∧Xa)$
如果 a 是 N ,而且, λxNx 是 $K^{2}$ ,則至少有個 X , a 是 X 而且 X 是 $K^{2}$
[ a:小明; Nx: x 用手指挖鼻屎; $K^{2}x$: x 是不衛生的 ]

3.

最後是語言哲學經典的例子,「現任法國國王不是禿頭」。如果只用 ℩ ,會譯成:

∼B(℩xKx)
並不是這樣的:現任法國國王是禿頭
(It is not the case that the present King of France is bald)

如同「小明不是天才」一樣,它可以有兩個意思。如果想用「現任法國國王不是禿頭」表達「現任法國國王是這樣的:他是非禿頭的」,就要加入 λ :

(λx∼Bx)(℩xKx)
現任法國國王是這樣子的:他是非禿頭
(The present King of France is such that: he is not bald)

這個詮釋其實就是羅素所謂的 wide scope ,因為 “∼” 的作用範圍沒有覆蓋 “℩x” ,它的作用範圍只有 “Bx” 。


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