2013年7月30日

去年在邏輯課聽到個分析,一直覺得很有意思。那分析大概是說, p 和它的否定句 ∼p 會符合某個條件,但符合那條件的卻未必互為否定句。那條件是這樣的:

$$p \begin{cases} \text{為假} & \text{若 q 為真}\\ \text{為真} & \text{若 q 為假} \end{cases}$$
這條件說,任何兩個語句符合此條件,則必定一真一假;不會同真,亦不會同假。為了方便,且稱此條件為 NC 。 NC 其實暗藏兩個「若-則」句,因此,它可以透過另一個方式陳構,只是看起來沒那麼專業:

若 q 為真,則 p 為假
若 q 為假,則 p 為真

NC 是最常用來刻劃矛盾關係的條件。顯然,如果 p 和 q 互為否定,它們會符合 NC 。例如, R 和 ∼R 會符合

$$ R \begin{cases} \text{為假} & \text{若 ∼R 為真}\\ \text{為真} & \text{若 ∼R 為假}\\ \end{cases} $$
有趣的是,有些符合 NC 的句子並非互為否定。



***



我當時想到的例子涉及邏輯真句(logical truth)和邏輯假句(logical falsity)。第一種是邏輯假句配事實真句:

$$ \text{「英國是第一次世界大戰的戰勝國」} \begin{cases} \text{為假} & \text{若「雪是白的而且不是白的」為真}\\ \text{為真} & \text{若「雪是白的而且不是白的」為假}\\ \end{cases} $$
一方面,由於「雪是白的而且不是白的」不可能為真,所以「若『雪是白的而且不是白的』為真,則『英國是第一次世界大戰的戰勝國』為假」成立(因前件不滿足);另一方面,「若『雪是白的而且不是白的』為假,則『英國是第一次世界大戰的戰勝國』為真」也成立(因前後件皆滿足)。所以這兩句符合 NC ,但顯然兩者並非互為否定。

另一種是邏輯真句配事實假句:

$$ \text{「英國未曾有過女王」} \begin{cases} \text{為假} & \text{若「雪是白的或不是白的」為真}\\ \text{為真} & \text{若「雪是白的或不是白的」為假}\\ \end{cases} $$
第一,「若『雪是白的或不是白的』為真,則『英國未曾有過女王』為假」成立(因前後件皆滿足);第二,由於「雪是白的或不是白的」不可能為假,所以「若『雪是白的或不是白的』為假,則『英國未曾有過女王』為真」也成立(因前件不滿足)。這兩句符合 NC ,但同樣的這兩句不是彼此的否定句。

後來想到還有其他組合,譬如邏輯真句配概念假句,或邏輯假句配概念真句。



後記

據我所知,語句間的矛盾關係有兩個定義方法。第一個是以否定句定義矛盾,將「 p 和 q 矛盾」界定為「 p 和 q 互為否定」。另一個是透過 NC ,即是將「 p 和 q 矛盾」界定做「 p 和 q 必定一真一假」。假如採取後一個定義,上述的例子便證明兩個語句可以互相矛盾,但不是互為否定。

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